Analiza drgań oscylatora ze sprężyną typu SMA

Analiza drgań oscylatora ze sprężyną typu SMA

Mgr inż. Joanna Rękas(1), Dr hab. inż. Rafał Rusinek(2)

(1) Politechnika Lubelska, Katedra Mechaniki Stosowanej, ul. Nadbystrzycka 36, 20-618 Lublin
(2) Politechnika Lubelska, Katedra Mechaniki Stosowanej, ul. Nadbystrzycka 36, 20-618 Lublin

STRESZCZENIE

Artykuł przedstawia analizę drgań układu nieliniowego o jednym stopniu swobody, który posiada element (sprężynę),  wykonaną z materiału z pamięcią kształtu (SMA). Taki układ może być uproszczonym modelem ucha środkowego, w którym młoteczek, kowadełko i strzemiączko są zastąpione jedną masa skupioną.  Układ jest harmonicznie wzbudzany poprzez siłę zewnętrzną i analizowany pod kątem zmiany zachowania w różnych  temperaturach. Analiza drgań oscylatora wykonana została za pomocą metody numerycznej z wykorzystaniem programu Matlab\Simulnik. Otrzymano różne rodzaje rozwiązań w zależności od zadanych parametrów, począwszy od drgań regularnych aż do chaotycznych.

 

1. WSTĘP

Analiza drgań układów nieliniowych znacząco różni się od analizy drgań układów liniowych. Dodając nieliniowość do prostego układu  dynamicznego  można pokazać jak skomplikowany może być nawet najprostszy przykład. W celu zapoznania się z układami nieliniowymi należy mieć na względzie takie pojęcia jak: chaos, trajektorie ruchu oraz płaszczyzny i portrety fazowe, czy bifurkacje. Aby opisać i  rozwiązać układ nieliniowy dyskretny korzysta się z równań różniczkowych zwyczajnych, tzw. równań stanu lub ruchu. W celu graficznego zobrazowania zachowania układów nieliniowych można wykorzystać  portrety fazowe, mapy Poincare oraz wykresy bifurkacyjne przedstawiające jakościową zmianę trajektorii fazowej podczas zmian wybranego parametru układu, zwanego parametrem bifurkacyjnym. Częstym przypadkiem w układach silnie nieliniowych jest chaos deterministyczny.  W przypadku  małych nieliniowości układu bardzo często zakłada się i rozwiązuje taki układ jako liniowy. Celem tego zabiegu jest uniknięcie dość skomplikowanej analizy nieliniowej, która bardzo często prowadzi do żmudnych badań [10], ale może dawać dokładniejsze wyniki i bardziej interesujące rezultaty.

Przykładem układu biomechanicznego może być model ucha środkowego, w którym znajduje się łańcuch bardzo małych kosteczek słuchowych. Łańcuch kosteczek słuchowych ucha środkowego składa się z: młoteczka, kowadełka oraz strzemiączka. Ich funkcją  jest przewodzenie drgań mechanicznych z błony bębenkowej do ucha wewnętrznego. Przy uszkodzeniu młoteczka lub kowadełka najczęściej dokonuje się resekcji zmienionych patologicznie kosteczek oraz zastępuje się je protezą, która ma za zadanie odpowiednio przewodzić fale akustyczne.

W niniejszej pracy został zbudowany prosty model oscylatora o 1 stopniu swobody, składający się z masy skupionej (odpowiadający kosteczkom) zaczepionej  za pomocą sprężyny (wykonanej ze stopu NiTi - nitinolu) oraz tłumika wiskotycznego. Taki prosty model może przedstawiać w formie uproszczonej do pierwszej postaci drgań zachowanie ucha środkowego. Sprężyna (wykonana ze stopu nitinol) jest tutaj elementem konstrukcyjnym  łączącym uszkodzony łańcuch kosteczek słuchowych. Nitinol jest materiałem zaliczanym do grupy SMA (z ang. shape memory alloys) czyli materiałów z pamięcią kształtu, które posiadają zdolność do zmiany swoich właściwości w zależności od temperatury lub/i naprężeń. Zmiany te związane są z fazową przemianą termoelastyczną wywołaną albo przez temperaturę, albo przez działające na materiał naprężenia. W takich materiałach można wyróżnić jedno oraz dwukierunkowy efekt pamięci kształtu. Jednokierunkowy efekt polega na nieodwracalnej przemianie, nawet mimo późniejszego chłodzenia do temperatury początkowej, podczas gdy dwukierunkowy efekt taką możliwość posiada. Ponadto ciekawym zjawiskiem występującym w SMA jest efekt pseudosprężystości. Odkształcenia w tym zjawisku są skutkiem przemiany martenzytycznej, która zaindukowana jest działającymi z zewnątrz naprężeniami. Natomiast głównym czynnikiem powodującym zmianę kształtu jest temperatura. Najbardziej popularnym tzw. inteligentnym materiałem jest nitinol (NiTi). Jest to stop składający się z dwóch metali, gdzie ich przybliżony procent atomowy jest podobny. Nitinol wyróżnia się bardzo dobrymi właściwościami, przez co znalazł zastosowanie, zarówno w inżynierii, jak i medycynie. Może być stosowany jako elementy złączne, uszczelnienia, łączniki samouruchamiające, mechanizmy stabilizujące w lotnictwie, baterie słoneczne, siłowniki do kontroli drgań elastycznych struktur, elementy protez medycznych itp. [1,3,4,6]

Praca składa się kolejno z: opisu modelu oscylatora ze sprężyną wykonaną z materiału typu SMA, analizy numerycznej wykonanej w programie Matlab-Simulink, podsumowania oraz wniosków końcowych.

2. Sprężyna z pamięcią kształtu

Nitinol, tak jak inne materiały typu SMA, wykazuje tzw. efekt pamięci kształtu oraz efekt pseudosprężystości, co czyni go bardzo ciekawym materiałem z możliwością szerokiego zastosowania. Każdy z tych efektów  wiąże się z bezdyfuzyjnym przekształceniem z fazy wysokotemperaturowego austenitu do fazy niskotemperaturowego martenzytu. Zjawisko pamięci kształtu polega na tym, że materiał o określonym kształcie, odkształcony plastycznie,  ma zdolność powrotu do kształtu początkowego. Powrót zachodzi pod wpływem nagrzania materiału do temperatury charakterystycznej dla niego. Materiały z pamięcią kształtu mogą wykazywać:

•    Jednokierunkowy efekt pamięci kształtu polega na tym, że materiał odkształcony w niskiej temperaturze – a więc będący w stanie fazy martenzytycznej – po podgrzaniu ulega przemianie odwrotnej do fazy austenitycznej, w efekcie czego wraca do uprzedniego kształtu.
•    Dwukierunkowy efekt pamięci kształtu wykazuje funkcję pamięci kształtu zarówno wysokotemperaturowej fazy macierzystej, jak i niskotemperaturowej fazy martenzytycznej.
•    Zjawisko psuedosprężystości jest związane z odwracalną przemianą martenzytyczną pod wpływem naprężenia zewnętrznego. Ponadto występuje w wąskim zakresie temperatur, tuż powyżej temperatury przemiany austenitycznej [2,3].

Do opisania układów równań nieliniowych dynamicznych niezbędna jest znajomość takich pojęć jak: przestrzeń fazowa, płaszczyzna fazowa, chaos. Pod pojęciem chaosu rozumie się własność równań, bądź układów równań, wykazującą dużą wrażliwość rozwiązań na dowolne małe zaburzenia parametrów badanego modelu. Dotyczy zazwyczaj równań różniczkowych drugiego rodzaju. Jednym ze sposobów wizualizacji charakterystyki rozwiązań pewnej klasy równań różniczkowych jest tzw. płaszczyzna fazowa. Płaszczyzna ta jest określana jako przestrzeń stanów, gdzie występują dwie współrzędne stanu (tzw. współrzędne fazowe). Istotą płaszczyzny fazowej jest możliwość określenia właściwości układu dynamicznego, tj. właściwości statycznych, dynamicznych oraz stabilności na podstawie kształtu wykresu (trajektorii). Osiami takiej płaszczyzny są współrzędne przemieszczenia oraz prędkości, zaś wykres określony jest jako trajektoria fazowa. Do szerszej interpretacji stosuje się pojęcie przestrzeni fazowej, która opisuje przestrzeń wszystkich możliwych stanów w jakich może znajdować się układ. W mechanice klasycznej opisuje się układy za pomocą wspomnianych wyżej: współrzędnych położenia i prędkości. W układach nieliniowych nie obowiązuje sumowanie drgań własnych czy drgań wymuszonych, ponieważ nie stosuje się zasady superpozycji, tak jak w układach liniowych. Nagłe zmiany charakteru drgań występujące w układach nieliniowych określa się bifurkacjami. Występują one przy drobnej zmianie parametrów  układu. W dynamice zaś termin bifurkacje określa zmianę rodzaju rozwiązań równań różniczkowych przy zmianie parametru danego równania. Wykresem tego procesu jest tzw. diagram bifurkacyjny. Niekiedy występują takie przedziały parametru w diagramach bifurkacyjnych, w których prędkość kątowa przybiera nieskończenie wiele wartości. Pomiędzy wartościami może występować wiele luk- ale mimo to, stany te określa się chaotycznymi. Istnieją również tzw. podprzedziały przedziałów chaotycznych, w których ruch objawia się jako ruch okresowy [4,10].

2.1. Model układu ze sprężyną SMA

Nieliniowy model oscylatora ze sprężyną wykonaną z materiału SMA (rys.1)  zaczerpnięty został z pracy [9]. Analizowany model o jednym stopniu swobody składa się z masy m, sprężyny K  wykonanej z Nitinolu oraz tłumika o stałej tłumienia c. Układ jest harmonicznie wzbudzany  zewnętrzną siłą harmoniczną Fsin(Ωt), która reprezentuje wzbudzenie dźwiękiem o wybranej częstości Ω [3,5,7].

Rys.1. Dynamiczny model o jednym stopniu swobody [9]

Energię swobodną materiału SMA (NiTi), odnoszącą się do powyższego modelu, opisano za pomocą odkształcenia ε oraz temperatury T poprzez wielomian szóstego stopnia. Równanie opisuje zachowanie każdej fazy SMA za pomocą minimów oraz maksimów faz materiału:

(1.1)

gdzie a i b są to stałe współczynniki charakterystyczne dla materiału SMA.  Natomiast naprężenia określone są  jako:

(1.2)

gdzie:

•    T-  jest to zadana temperatura [oC],
•    TM -  jest to temperatura poniżej której faza martenzytyczna jest stabilna [oC].

Jeśli zdefiniowana jest  temperatura TA, powyżej której faza austenityczna jest stabilna oraz energia swobodna, która posiada tylko jedno minimum w punkcie zerowym odkształcenia, to można przyjąć, że:

(1.3)

Po przekształceniu równania 1.2 otrzymuje się:

(1.4)

Siła FSMA zależy od przemieszczeń masy x, a więc zakładając że elementem sprężystym jest pręt o długości L i przekroju A otrzymuje się równanie:

(1.5)

Za współczynniki a, b, e podstawiono odpowiednio:

(1.6)

Równania ruchu układu ze sprężyną SMA:

 (1.7)

Podstawiając zależności (1.5) i (1.6) otrzymuje się następujące różniczkowe równanie ruchu:

(1.8)

Zmienna x reprezentuje przemieszczenie klocka o masie m . Równanie ruchu można zapisać w postaci dwóch równań różniczkowych pierwszego stopnia w postaci bezwymiarowej w celu łatwiejszej analizy modelu:

 (1.9)

Gdzie dane są:

Badania numeryczne wykonano w programie Matlab-Simulink, gdzie metodą całkowania była metoda Rungego-Kutty 4-go rzędu (ode45). Warunki symulacji zostały założone następująco:

•    t0 = 0 [s] (czas początkowy),
•    tk = 900 [s] (czas końcowy symulacji),
•    dt = 0.005 [s] (krok całkowania),

Bezwymiarowe parametru modelu zaczerpnięto z pracy [8] i przedstawiono poniżej:

Wykresy fazowe zaprezentowane w dalszej części pracy sporządzono dla trzech wariantów wymuszenia.

2.2. Wyniki symulacji i analiza

Badania prowadzono dla 3 różnych zadanych temperatur (T). T wyrażono w postaci bezwymiarowej   jako temperaturę względną ϴ, która jest stosunkiem temperatury zadanej T do temperatury TM w której martenzyt jest stabilny. Na początku przeprowadzono analizę drgań oscylatora w temperaturze, w której faza martenzytu jest stabilna, czyli dla T<TM . Przyjęto, że  ϴ1 = 0.7. Druga wartość temperatury reprezentuje normalną temperaturę ciała ludzkiego, czyli T=36.6oC  co daje wartość   ϴ2 = 1.0787 (wówczas TM< T <TA). Ostatnią  temperaturą w której badany był układ, jest temperatura ϴ3 = 3.5, w której faza austenitu jest stabilna czyli  (T>TA).

Rezultaty badań numerycznych przedstawiono w pracy jako wykresy bifurkacyjne oraz fazowe, które ukazują zależność prędkości od przemieszczenia, czyli rzut trajektorii na płaszczyznę x-x’. Wykresy bifurkacyjne przedstawiają punkty Poincare, tzn. obraz portretów fazowych uzyskanych przez „stroboskop” z odpowiednią częstością, czyli otrzymano wartości (x,x’) w interesujących odstępach czasu. Takie rozwiązanie stosuje się w celu uproszczenia interpretacji geometrycznej. Okres wymuszenia T w przypadku badanego modelu wynosi 2π/ω. W ten sposób otrzymano zamiast rozwiązań w czasie ciągłym, ciąg  wartości dyskretnych z których każda zapisywana jest co okres wymuszenia T. W rezultacie, zamiast portretu fazowego pełnego, obserwuje się tylko pojedyncze punkty. Uzyskane wyniki są tzw. mapami Poincarego. Dzięki takim wykresom jest możliwość globalnego spojrzenia na dynamikę badanego układu (w określonym przedziale parametrów). Pozwala to na odnalezienie zachowań okresowych, nieokresowych i chaotycznych. W pracy nie zostały przedstawione wyniki tej metody, jednak wykonana została analiza modelu również pod tym kątem. Dzięki wykresom bifurkacyjnym można wykryć interesujące zachowania podczas zmiany wybranych parametrów układów dynamicznych. W pracy nie zostały przedstawione wyniki tej metody, jednak wykonana została analiza modelu również pod tym kątem.

•    Analiza modelu w temperaturze ϴ1 = 0.7  (T < TM)

Zachowanie oscylatora wraz z rosnącą amplitudą wymuszenia (δ) przedstawiono za pomocą wykresu bifurkacyjnego na rys 2.

Rys.2. Wykres bifurkacji dla ϴ1 = 0.7

Rys.3. Wykres fazowy dla ϴ1 = 0.7

Na początku wykresu, dla δ < 0.005 drgania układu mają charakter okresowy o okresie wymuszenia 1T, następnie przechodzą w drgania o okresie 2T i 3T (również okresowe). Dwie  linie oznaczają, że drgania układu są okresowe z okresem 2T, a trzy linie- drgania o okresie 3T. Wraz ze wzrostem amplitudy  widocznych jest coraz więcej punktów wokół siebie skupionych co oznacza, że drgania przestają być okresowe i zaczynają przejawić nieregularność. To zjawisko jest najlepiej widoczne przy δ = 0.055 - 0.068, wtedy zachowanie oscylatora jest wyraźnie chaotyczne. Drgania  chaotyczne pojawiają się już wcześniej, ale występują w bardzo wąskich przedziałach wartości δ. Nie jest widoczna dokładnie bifurkacja załamania symetrii, co oznaczałoby że atraktor znika i zostaje zastąpiony przez parę innych atraktorów.

Dla pełniejszego zobrazowania zachowania oscylatora, dodatkowo sporządzono  wykresy fazowe dla dwóch różnych wartości δ. Zarówno dla wartości δ = 0.015 , jak i dla δ =0.07 trajektoria jest regularna.

•    Analiza modelu w temperaturze ϴ2 = 1.0787 (TM< T< TA)

Kolejny wykres (rys. 4.) przedstawia diagram bifurkacyjny dla ϴ2 = 1.0787. Jest on dość zbliżony do wykresu bifurkacyjnego otrzymanego dla ϴ1 = 0.07 jednak obszar drgań nieregularnych jest wyraźnie mniejszy. Ponadto w przedziale δ = 0.094 ÷ 0.096 można zaobserwować zachowania chaotyczne wynikające z dwóch równoległych do siebie atraktorów.

Rys.4. Wykres bifurkacyjny dla ϴ2 = 1.0787

Na rys.5. również wykresy fazowe dla ϴ2 = 1.0787, gdzie także są ukazane trajektorie dla dwóch wartości δ. Przy wartości δ = 0.015 trajektoria jest regularna, natomiast dla δ = 0.07  jest chaotyczna, czyli nieregularna.. Na tym przykładzie można zaobserwować, że nie tylko zmienna wartość temperatury ma wpływ na dynamikę układu, ale także  wartość wymuszenia zewnętrznego. Krzywa przy temperaturze ϴ2 = 1.0787 (δ = 0.015) jest bardzo zbliżona do krzywej przedstawionej dla wartości temperatury ϴ1 = 0.7 (δ = 0.015), czego przyczyną w tym przypadku może być nieznaczna różnica zadanych temperatur.

Rys.5. Wykres fazowy dla ϴ2 = 1.0787

•    Analiza modelu w temperaturze ϴ3 = 3.5 (T > TA)

Na rys.6. przedstawiony został wykres bifurkacyjny dla wartości ϴ3 = 3.5. W porównaniu do zaprezentowanych powyżej wykresów bifurkacyjnych ten różni się znacząco. Przyczyną takiego zachowania jest zmiana zakresu temperatur. Można zauważyć, że drgania układu są głównie regularne. W przedziale dla δ od 0 do 0.03 widoczny jest spadek wartości przemieszczenia. Następnie od δ = 0.03 obserwuje się stopniowy wzrost amplitudy przemieszczenia. W tym przypadku również można zaobserwować występujący chaos jednak w znacznie ograniczonym zakresie wymuszenia, tzn. tylko w granicy około δ = 0.085-0.09.

Rys.6. Wykres bifurkacji dla ϴ3 = 3.5

Biorąc pod uwagę wykres 7., podczas tworzenia którego zmieniono stosunek temperatur do ϴ3 = 3.5, w którym fazę stabilną określa faza austenitu można zaobserwować, że układ wykazuje jeden punkt stabilny typu centrum dla δ = 0.07. Zarówno prędkość, jak i przemieszczenie zmieniają się cyklicznie względem punktu 0. Dla delta=0.07 atraktor jest nieregularny co widać na rys. 7.

Rys.7. Wykres fazowy dla ϴ3 = 3.5

3. PODSUMOWANIE I WNIOSKI

Praca dotyczy badań numerycznych  oscylatora o jednym stopniu swobody. Badany model składa się z masy, na której zaczepione zostały: tłumik oraz sprężyna wykazująca efekt pamięci kształtu wykonana z materiału SMA. Masę modelu można potraktować jako masę skupioną trzech kosteczek słuchowych i analizować w aspekcie zastosowania tzw. inteligentnego materiału w organizmie człowieka.

Głównym celem utworzonego modelu dynamicznego nieliniowego było zbadanie elementu, w tym przypadku sprężyny, wykazującej efekt pamięci kształtu pod wpływem zmian temperatury oraz efekt pseudoelastyczności wywołany odkształceniem produkowanym przez drgania. Do analizy matematycznej wykorzystano wielomian piątego stopnia, który to opisuje zachowanie każdej fazy sprężyny SMA. W celu zilustrowania wyników symulacji wykonano wykresy bifurkacyjne i portrety fazowe dla trzech różnych zakresów temperatur (ϴ1 = 0.7, ϴ2 = 1.0787, ϴ3 = 3.5  przy zmiennych wartościach δ).  Temperatury nie zostały wybrane przypadkowo. Kolejno pierwsza mieści się w zakresie, w którym faza martenzytu (Nitinolu) jest stabilna, druga natomiast została wybrana pod kątem zastosowania badanego materiału w organizmie człowieka (zadana temperatura wynosi 36.6oC) i ostatnia mieści się w zakresie, w którym faza austenitu jest stabilna.

Wykonane wykresy fazowe oraz wykresy bifurkacyjne wykazują na różne rodzaje zachowań począwszy od okresowych aż do chaotycznych. Najmniejszy obszar zachowań chaotycznych występuje dla temperatury ϴ3 = 3.5. W przypadku temperatur  ϴ1 = 0.7 i ϴ2 =1.0787 można zauważyć, że krzywe są dość zbliżone do siebie, co świadczy o nieznacznych różnicach w zachowaniu układu. Ponadto wykresy bifurkacyjne dla ϴ1 = 0.7 i ϴ2 = 1.0787 wydają się być podobne, jednak co je odróżnia to, że obszar drgań nieregularnych jest wyraźnie mniejszy dla drugiej temperatury. Największą regularność układu można zauważyć przy temperaturze względnej wynoszącej 3.5. Zarówno dla δ = 0.07, jak i δ = 0.015  wykresy fazowe są regularne, co świadczy o periodyczności ruchu właśnie w tym zakresie temperatur.  Obecnie na Politechnice Lubelskiej prowadzone są badania nad protezą ucha środkowego człowieka, która wykorzystuje elementy SMA. Wyniki pokazane w niniejszej pracy świadczą o możliwości wykonania protezy ucha środkowego z materiału z pamięcią kształtu. Kolejne badania będą właśnie dotyczyły tego problemu.

Podziękowania

Badania zostały sfinansowane przez Narodowe Centrum Nauki w ramach projektu  nr 2014/13/B/ST8/04047

LITERATURA

[1]    Aguiar A.A. Ricardo, Savi A. Marcelo, Pacheco Pedro M.C.L.: Experimental and numerical investigations of shape memory alloy helical spring, 2010, IOP Science Brazylia.
[2]    Aguiar A.A. Ricardo, Savi A. Marcelo, Pacheco Pedro M.C.L.: Shape memory alloy helical springs performance: Modeling and experimental analysis, 2013, Trans Tech Publication.
[3]    Barbosa Braga A.M., Pacheco, Paiva A., Savi M.A.: A constitutive model for shape memory alloys considering tensile-compressive asymmetry and plasticity, 2004 Elsevier Rio de Janeiro.
[4]    Chichiro Hayashi., Drgania nieliniowe w układach fizycznych, 1968, Wyd. Naukowo-Techniczne Warszawa.
[5]    Ćwikła A.: Medyczne zastosowania materiałów inteligentnych, 2008, Scientific Bulletin of Chelm Section of Technical Sciences, Chełm.
[6]    Falk F.: Model free energy, mechanics, and thermodynamics of shape memory alloys, 1980, Acta Metallurgica, volume 28, no.12.
[7]    Savi M.A., Paiva A., An overview of constitutive models for shape memory alloys. Mathematical Problems in Engineering. volume 2006, no.43, pp. 1-31.
[8]    Savi M.A., Pedro M.C.L Pacheco, Braga Arthur M.B.: Chaos in a shape memory two-bar truss, 2002, International Journal of Non-Linear Mechanics 37.
[9]    Savi M.A., Pedro M.C.L Pacheco.: Chaos and hyperchaos in  shape memory system, 2002, International Journal of Bifurcation and Chaos Vol. 12.
[10]    Warmiński J.: Nieliniowe postacie drgań. Układy dyskretne, 2011, Wyd. PWN.

 

 

 

Patronujemy:

c.d.n. jeśli chcesz patronatu z kontaktuj się

Sponsor:

Free Joomla! template by Age Themes